(G, X) struktur



Internettet er en uudtømmelig kilde til viden, også når det drejer sig om (G, X) struktur. Århundreder og århundreder af menneskelig viden om (G, X) struktur er blevet hældt og bliver stadig hældt ind i nettet, og det er netop derfor, at det er så vanskeligt at få adgang til det, da vi kan finde steder, hvor det kan være vanskeligt eller endog upraktisk at navigere. Vores forslag går ud på, at De ikke skal lide skibbrud i et hav af data om (G, X) struktur, og at De hurtigt og effektivt skal kunne nå frem til alle visdommens havne.

Med dette mål for øje har vi gjort noget, der går ud over det indlysende, og vi har indsamlet de mest opdaterede og bedst forklarede oplysninger om (G, X) struktur. Vi har også indrettet den på en måde, der gør den let at læse, med et minimalistisk og behageligt design, der sikrer den bedste brugeroplevelse og den korteste indlæsningstid. Vi gør det nemt for dig, så det eneste, du skal bekymre dig om, er at lære alt om (G, X) struktur! Så hvis du mener, at vi har nået vores mål, og du allerede ved, hvad du ville vide om (G, X) struktur, vil vi meget gerne have dig tilbage på dette rolige hav af sapientiada.com, når din videnshunger er vakt igen.

I matematik giver (G, X) strukturer (også lokalt homogene strukturer eller geometriske strukturer ) muligheden for at give topologiske manifolder geometriske strukturer i den forstand, som Felix Kleins Erlangen-program betyder . Denne tilgang bruges i geometrizering af 3-manifolds og i repræsentationsteorien for grupper .

(G, X) strukturer

Lad det være en løgnegruppe og et transitivt G-rum .

En -manifold er en manifold med et -atlas , dvs. et dæksel med åbne sæt

sammen med homeomorfier

på åbne undersæt af sådanne, at alle koordinerer overgange

Begrænsninger fra elementer er.

Kortlægning af udvikling og holonomi

Udviklingsillustration

Fix et basispunkt og et kort med . Være

det universelle overlay . Disse data opretter et kort (det såkaldte udviklingskort )

at for hver sti falder sammen med den analytiske fortsættelse langs stien.

For forskelligt valgte outputdata og udviklingskortlæggelsen ændres kun ved anvendelse af et element .

fuldstændighed

Udviklingskortet er en lokal homeomorfisme. En -manifold kaldes komplet, hvis dens udviklingskortlægning er overvejende . Hvis er simpelthen forbundet , så er hver komplet -manifold af formen for en diskret undergruppe .

Der DENNE BETINGELSE ved analytiske diffeomorfier med kompakte stabilisatorer på . Derefter er der en -variant Riemann-metrisk på hvert -manifold, og følgende betingelser er ækvivalente:

  • er et fuldt metrisk rum .
  • Der er en sådan, at alle lukkede kugler er kompakte.
  • Alle færdige kugler er kompakte.
  • Der er en familie af kompakte sæt med , så alle de miljø i er inkluderet.

Især er lukkede manifolder altid komplette i dette tilfælde .

Holonomi

Til

giver analytisk fortsættelse langs en repræsentativ lukket sti et kort, der kan sammenlignes med , fordi begge er defineret på en delmængde af . Være

,

så det

.

Illustrationen

er en gruppehomomorfi og kaldes holonomi af den struktur.

Ifølge konstruktionen er udviklingskortet ækvivalent med hensyn til holonomihomomorfismen, dvs. H. det gælder

.

For forskelligt valgte initialdata og holonomi ændres kun til konjugation med et element . Så du har et billede

.

Bundtolkning (Ehresmann-Thurston-Weil sætning)

En struktur med (G, X) -Atlas og koordinatovergange kan være et fiberbundt

tildele hvis overgangsbilleder bare er . I denne fortolkning svarer udviklingsbilledet til et snit . Så bundtet er et fladt bundt med monodromi .

Omvendt svarer en sektion til en struktur, hvis den er på tværs af bladene defineret af .

Fordi transversalitet er en åben tilstand, følger det, at der er en lokal homeomorfisme.

Eksempler

Modelgeometrier

En modelgeometri er en differentierbar manifold med en mere differentieret effekt af en Lie-gruppe, der opfylder følgende betingelser:

  • er tilsluttet og simpelthen forbundet
  • fungerer transitivt med kompakte stabilisatorer (især er der en -variant Riemann-metrisk)
  • er maksimal blandt grupper, der virker gennem diffeomorfismer med kompakte stabilisatorer
  • der er mindst en kompakt manifold.

Fra den sidste betingelse følger det især, at det skal være modulært . Der er mange par, der tilfredsstiller alle undtagen de sidste, for eksempel Lie-gruppen af affine kort over det euklidiske plan.

2-dimensionelle modelgeometrier

2-dimensionelle modelgeometrier blev klassificeret af Cartan, de er den 2-dimensionelle sfære, det euklidiske plan og det hyperbolske plan, hver med deres fulde isometriske grupper .

3-dimensionelle modelgeometrier

3-dimensionelle modelgeometrier blev klassificeret af Thurston. Der er otte 3-dimensionelle modelgeometrier, hvor den homogene metriske isometriske gruppe er:

  • det euklidiske rum ,
  • den tredimensionelle sfære (overflade af en firedimensionel sfære),
  • det hyperbolske rum ,
  • produktet af 2-kugle og lige linje ,
  • produktet af det hyperbolske plan og den lige linje ,
  • , den universelle superposition af den specielle lineære gruppe
  • den Heisenberg Group
  • den 3-dimensionelle, opløselige Lie-gruppe .

4-dimensionelle modelgeometrier

4-dimensionelle modelgeometrier blev klassificeret af Filipkiewicz.

Afgræns manifolder

Affine manifolds er -manifolds til og gruppen af affine maps. Auslandsers formodning (bevist af Fried og Goldman for n = 3) siger, at den fundamentale gruppe af kompakte affine manifolds er polycyklisk .

Konform manifold

En konform struktur er en struktur med og .

Projektive manifolder

Projektive manifolder er -manifolds til . I dette tilfælde svarer strukturerne til de flade projektive forhold .

Komplekse projektionsmanifold er -manifolds til .

Flagstruktur

Et flag struktur er en struktur med og den flag manifolden , dvs. H. rummet for de komplette flag i , med den kanoniske effekt af og stabiliserende delmængden af de øvre trekantede matricer .

Hierarkier af geometrier

Hvis en homomorfi og én - equivariant lokal diffeomorphisme , så hver er -manifold automatisk en -manifold.

For eksempel viser Beltrami-Klein-modellen af hyperbolsk geometri, at hver hyperbolsk manifold automatisk også er en projektiv manifold . De andre 3-dimensionelle Thurston-geometrier, med undtagelse af og, kan også fortolkes som en delmængde af den projicerende geometri.

litteratur

  • William P. Thurston : Tredimensionel geometri og topologi. Bind 1. Redigeret af Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. ISBN 0-691-08304-5
  • G. Peter Scott : Geometrierne i 3-manifolds. Bull. London matematik Soc. 15 (1983) nr. 5, 401-487. online
  • Richard Canary ; David Epstein ; PL Green: Noter til noter fra Thurston . Med et nyt forord fra Canary. London matematik Soc. Lecture Note Ser., 328, Fundamentals of hyperbolic geometry: selected expositions, 1115, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006
  • William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
  • Yoshinobu Kamishima; Ser Peow Tan: Deformationsrum på geometriske strukturer. Aspekter af lavdimensionelle manifolder, 263-299, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokyo, 1992
  • William M. Goldman : Lokalt homogene geometriske manifolder. Forhandlinger fra den internationale matematikerkongres. Bind II, 717-744, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010. pdf

Weblinks

bevis

  1. ^ RP Filipkiewicz: Fire-dimensionelle geometrier , Ph.D. Speciale, Univ. Warwick, Coventry, 1984; pr. bibel.
  2. CTC Wall : Geometrier og geometriske strukturer i reel dimension 4 og kompleks dimension 2. Geometri og topologi (College Park, Md., 1983/84), 268-292, Forelæsningsnotater i matematik., 1167, Springer, Berlin, 1985

Opiniones de nuestros usuarios

Margit Thomsen

God artikel om (G, X) struktur

Lone Müller

Det er altid godt at lære noget. Tak for artiklen om (G, X) struktur.

Marlene Nikolajsen

Dette indlæg om (G, X) struktur har hjulpet mig med at færdiggøre mit arbejde til i morgen i sidste øjeblik. Jeg kunne allerede se mig selv gå tilbage til Wikipedia, hvilket læreren forbyder os at gøre. Tak, fordi du reddede mig

Nils Hougaard

Endelig en artikel om (G, X) struktur, der er let at læse.