Kommutator (matematik)
Denne artikel vil behandle emnet Kommutator (matematik), som er yderst relevant og interessant i dag. Kommutator (matematik) er et emne, der har skabt stor debat og har fanget opmærksomhed hos mange mennesker inden for forskellige felter. Gennem historien har Kommutator (matematik) været genstand for undersøgelse, analyse og refleksion, hvilket har bidraget til dets udvikling og forståelse i en aktuel kontekst. Ydermere har Kommutator (matematik) spillet en væsentlig rolle i mange menneskers liv, direkte eller indirekte påvirket forskellige aspekter af samfundet. Derfor er det essentielt at udforske og dykke ned i vigtigheden og relevansen af Kommutator (matematik), såvel som dets implikationer og konsekvenser i dag.
Angående en elektrisk omskifter som periodisk vender strømmens retning, se kommutator
- For alternative betydninger, se Kommutator. (Se også artikler, som begynder med Kommutator)
Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.
I matematik indikerer[hvordan?] kommutatoren hvor dårligt en bestemt binær operation kommuterer. Der anvendes forskellige definitioner i gruppeteori og ringteori.
Gruppeteori
Kommutatoren af to elementer g og h i en gruppe G er elementet
- = g−1h−1gh
Den er lig med gruppens identitet hvis og kun hvis g og h kommuterer (dvs. hvis og kun hvis gh = hg).
N.B. Nogle steder vælges kommutatoren at defineres som
- = ghg−1h−1
Identiteter
I det følgende angiver ax det x-konjugerede element x−1a x.
- = −1
- ,z] y ,x] z ,y]x = 1
- = y
- = z
Den anden identitet er også kendt under navnet Hall-Witt identiteten. Den er en gruppe-teoretisk analog af Jacobi-identiteten for den ring-teoretiske kommutator (se næste sektion).
Ringteori
Kommutatoren af to elemeter a og b i en ring eller associativ algebra er defineret ved
- = ab − ba
Den er nul hvis og kun hvis a og b kommuterer. I lineær algebra haves at hvis to matricer kommuterer i en basis, vil de kommutere i enhver anden basis.[bør uddybes]
Kommutatoren af to operatorer defineret i et Hilbertrum er et vigtigt koncept i kvantemekanik, da den angiver hvor godt de to målbare størrelser beskrevet af operatorerne kan måles samtidigt. Usikkerhedsprincippet er i bund og grund en sætning om disse kommutatorer.
Ligeledes er antikommutatoren defineret som ab + ba, ofte skrevet { a, b }.
Identiteter
Kommutatoren har de følgende egenskaber:
Lie-algebra relationer:
- = −
- = 0
- ] + ] + ] = 0
Yderligere relationer:
- = C + B
- = A + B
- = +
- = AB + AC + BC
Kilder
 | Denne artikel har en liste med kilder, en litteraturliste eller eksterne henvisninger, men informationerne i artiklen er ikke underbygget, fordi kildehenvisninger ikke er indsat i teksten. (2020) |
- Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave). Prentice Hall. ISBN 013805326X.
- Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0805387145.